آدم هاي بزرگ در باره ايده ها سخن مي گويند آدم هاي متوسط در باره چيزها سخن مي گويند آدم هاي كوچك پشت سر ديگران سخن مي گويند آدم هاي بزرگ درد ديگران را دارند آدم هاي متوسط درد خودشان را دارند آدم هاي كوچك بي دردند آدم هاي بزرگ عظمت ديگران را مي بينند آدم هاي متوسط به دنبال عظمت خود هستند آدم هاي كوچك عظمت خود را در تحقير ديگران مي بينند آدم هاي بزرگ به دنبال كسب حكمت هستند آدم هاي متوسط به دنبال كسب دانش هستند آدم هاي كوچك به دنبال كسب سواد هستند آدم هاي بزرگ به دنبال طرح پرسش هاي بي پاسخ هستند آدم هاي متوسط پرسش هائي مي پرسند كه پاسخ دارد آدم هاي كوچك مي پندارند پاسخ همه پرسش ها را مي دانند آدم هاي بزرگ به دنبال خلق مسئله هستند آدم هاي متوسط به دنبال حل مسئله هستند آدم هاي كوچك مسئله ندارند آدم هاي بزرگ سكوت را براي سخن گفتن برمي گزينند آدم هاي متوسط گاه سكوت را بر سخن گفتن ترجيح مي دهند آدم هاي كوچك با سخن گفتن بسيار، فرصت سكوت را از خود مي گيرند

آدم هاي متوسط در باره چيزها سخن مي گويند

آدم هاي كوچك پشت سر ديگران سخن مي گويند

 

آدم هاي بزرگ درد ديگران را دارند

آدم هاي متوسط درد خودشان را دارند

آدم هاي كوچك بي دردند

 

آدم هاي بزرگ عظمت ديگران را مي بينند

آدم هاي متوسط به دنبال عظمت خود هستند

آدم هاي كوچك عظمت خود را در تحقير ديگران مي بينند

 

آدم هاي بزرگ به دنبال كسب حكمت هستند

آدم هاي متوسط به دنبال كسب دانش هستند

آدم هاي كوچك به دنبال كسب سواد هستند

 

آدم هاي بزرگ به دنبال طرح پرسش هاي بي پاسخ هستند

آدم هاي متوسط پرسش هائي مي پرسند كه پاسخ دارد

آدم هاي كوچك مي پندارند پاسخ همه پرسش ها را مي دانند

 

آدم هاي بزرگ به دنبال خلق مسئله هستند

آدم هاي متوسط به دنبال حل مسئله هستند

آدم هاي كوچك مسئله ندارند

 

آدم هاي بزرگ سكوت را براي سخن گفتن برمي گزينند

آدم هاي متوسط گاه سكوت را بر سخن گفتن ترجيح مي دهند

آدم هاي كوچك با سخن گفتن بسيار، فرصت سكوت را از خود مي گيرند

(1) Study=don't Fail

(2) Don't study=Fail

1+2
==>
Study+don't study=Fail+don't Fail

فاكتورگيري
Study(1+don't)=Fail(1+don't)
Study = Fail

حالا توجه کنید :
اگر حروف الفبای انگلیسی را :
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
بترتیب بصورت زیر در نظر بگیریم :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26
کلمه ی : H-A-R-D-W-O-R-K
معادل خواهد بود با : 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98%


کلمه ی : K-N-O-W-L-E-D-G-E
معادل خواهد بود با : 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96%


اما کلمه ی : A-T-T-I-T-U-D-E
معادل خواهد بود با : 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%


حالا توجه کنید به : L-O-V-E-O-F-G-O-D
که مساوی می شود با : 12+15+22+5+15+6+7+15+4 = 101%

اين مسئله را همه ما تجربه کرده ايم اما شايد هيچ کدام از ما به طور جدی روی آن فکر نکرده باشيم.
اگر ورق را هر بار طوری تا کنيد که اندازه آن نصف شود بيش از ۷ يا ۸ بار نمی توانيد آن را تا کنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعی کرده باشيد که آن را امتحان کنيد و متوجه شده باشيد که تا کردن کاغذ بيش از۷ يا ۸بار بسيار سخت است. آيا می توان گفت که اين اعداد يک محدوديت مستدل و عمومی برای تا کردن کاغذ هستند؟
فرض کنید شما کاغذی را انتخاب کرده ايد که دارای پهنای w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتی به جايی برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت.
با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر می شود و پهنای آن نصف خواهد شد. يعنی بعد از N بار تا کردن ضخامت 2n خواهد بود و البته مشخص است که پهنا ۰.۵n می شود
اگر با کاغذی به پهنای 11cm و ضخامت 0.002cm اين کار را انجام دهيد بعد از 7 بار تا کردن نسبت t/w برابر 1/6 می شود. اين بدان معنيست که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر می شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر اين کاغذ را 50 بار بزرگتر کنيد شايد بتوانيد آن را تا ۱۰بار هم تا کنيد.
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنيد ممکن است تعداد دفعات بيشتری بتوانيد به تا کردن کاغذ ادامه دهيد. در اين صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه يک بار نصف می شود.
چندين سال پيش هنگامی که بريتنی گاليوان در دبيرستان درس می خواند با اين مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی را ۱۲ بار تا کند . او بايد برای گرفتن نمره از يکی از کلاسهايش اين مسئله را حل می کرد. بعد از آزمايش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را ۱۲بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.
گاليوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان يک کاغذ با اندازه معين را تا کرد کار کرد.

که در آن L کمترين درازای کاغذ، t ميزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L بايد يکسان باشد.
براي يک طول و ضخامت معين عبارت *******بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همين ترتيب به رشته ای از اعداد به اين صورت می رسيم:
0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .
اين به اين معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.
گاليوان در کتابی با نام ((Historical Society ofPomona Valley)) چگونگی به دست آوردن اين معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضيح داده است. بالاخره در June 2002 گاليوان يک کاغذ بزرگ را ۱۲بار تا کرد.
راستی اگر از دید دیگری مسئله را نگاه کنیم باز همجالب خواهد بود. منظورم این است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجیم بعد از ۱۰بار تا کردن ضخامت کاغذ بدست آمده ۱۰۲۴ برابر حالت اولیه می شود و در مرحله ۱۱ام۲۰۴۸ و در مرحله ۱۲ ام ۴۰۹۶
یعنی درمرحله دوازدهم باید ۴۰۹۶ برگ را تا کنیم که ضخامتی برابر با حدود ۵۰ سانتی متر کهکار خیلی دشوار و تقریبا ناممکن است

نوار موبـيوس

 

 

 

بخش نخست: تعاريف و آشنائي

 

 

 

 

آگوست فرديناند موبيوس (August Ferdinand Möbius) در روز ۱۷ نوامبر ۱۷۹٠ در شهر زاکسن به دنيا آمد. وي رياضيدان و ستاره شناس مشهور آلماني است. بيشترِ شهرت او به دليل کشف نوار موبيوس است.

 

 

نوار موبيوس نواري است که دو لبة آن بر هم قرار گرفته و حلقه‌اي را به وجود مي‌آورد؛ البته بايد يک لبة انتهايي قبل از اتصال به لبة ديگر نيم دور چرخانده شود. اين نوار را دو رياضيدان آلماني به نامهاي آگوست فرديناند موبيوس و جان بنديکت (Johann Benedict) در سال ۱۸۵۸ به طور مستقل و جداگانه کشف کردند و به ثبت رساندند.

 

◄ روش ساخت نوار موبيوس:

 

ابتدايي‌ترين راه براي ايجاد اين نوار، انتخاب يک نوار مستطيل شکل، دراز و نرمي است که آن را يک بار مي‌پيچانيم و سپس دو انتهاي آن را به هم متصل مي‌کنيم. سطحي که به اين ترتيب به دست مي‌آيد «نوار موبيوس» ناميده مي‌شود.

 

 

 

 

اين سطح تنها يک رو دارد. به بيان ديگر، يک صفحة کاغذي را مي‌توان با دو رنگ گوناگون در دو طرف آن رنگ کرد اما نوار موبيوس را با اين روش نمي‌توان با دو رنگ مختلف رنگ کرد. در صورت اقدام به چنين کاري به همان جايي که رنگ کردن را در ابتدا آغاز کرده‌ بوديم، مي‌رسيم؛ در حالي که در طرف ديگر نوار هستيم! پس نوار موبيوس، سطحي است که يک رو دارد و حرکت ما روي آن تا بينهاِت بار تکرار مي شود.

 

 

◄ تعريف خاص رياضي:

 

دليل «يک رويه بودن» اين نوار آن است که در هر نقطة a از نوار موبيوس مي‌توان دو بردار با جهت‌هاي مختلف رسم کرد که بر نوار موبيوس در اين نقطه عمود باشد.

 

اين بردارها را قائم‌هاي نوار موبيوس در نقطة a مي‌ناميم. يکي از اين بردارها را انتخاب و نقطة a را به تدريج روي نوار موبيوس جابجا مي‌کنيم. در اين صورت بردار ما هم همراه با نقطه a جابجا مي‌شود. بنابراين، روي نوار موبيوس چنان مسير بسته‌اي وجود دارد که اگر قائمي اين مسير را روي سطح بپيمايد، به جاي اين که به وضع نخستين خود برسد، روي برداري که در جهت مخالف وضع نخستين آن است قرار مي‌گيرد.

 

 

 

 

 

بخش دوم: مفهوم مرزِ ناحيه، خواص و کاربرد نوار موبيوس

 

 

 

 

 

 

 

◄ تعريف مرز يک ناحيه در فضا:

مرزِ يک ناحيه، خط جدا کنندة آن ناحيه از ناحية ديگر است. در رياضيات براي يک سطح سه مفهوم تعريف مي شود:

۱- نقطة داخلي: نقطه اي که بتوان آن را داخل يک دايره روي سطح محصور کرد.

۲- نقطة خارجي: نقطه اي است که بتوانيم دايره اي حول آن رسم کنيم که متعلق به آن سطح نباشد.

۳- نقطة مرزي: نقطه اي است که هر دايره اي حول آن رسم شود، قسمتي از آن متعلق به سطح و قسمت ديگر آن متعلق به خارج آن سطح باشد.

با اين تعريف نوار موبيوس فقط يک مرز دارد. يعني با يک بار حرکت در کرانه هاي انتهاي نوار تمام مرز آن را مي توانيم طي کنيم.

◄ نکات جالب درباره نوار موبيوس

اگر با يک خودکار بر روي نوار موبيوس خطي در طول نوار بکشيم و ادامه دهيم اين خط دوباره به نقطة شروع باز مي‌گردد و هر دو طرف نوار خط کشيده مي‌شود! در واقع، نوار موبيوس مثالي از يک روية بدون جهت (جهت ناپذير) است. يعني نوار موبيوس سطحي است که يک رو دارد. از خواص حيرت آور اين نوار آن است که اين نوار فقط يک مرز دارد.

 

نوار موبيوس خواص غيرمنتظرة ديگري نيز دارد؛ براي نمونه، هرگاه بخواهيم اين نوار را در امتداد طولش بِـبُريم به جاي اين که دو نوار به دست بياوريم، يک نوار بلندتر و با دو چرخش به دست مي آوريم! همچنين با تکرار دوبارة اين کار دو نوار موبيوس در هم پيچ خورده به دست مي‌آيد. با ادامة اين کار يعني بريدن پياپي نوار، در انتهاي کار تصاوير غيرمنتظره‌اي ايجاد مي‌شود که به حلقه‌هاي پارادروميک (paradromic rings) موسومند. همچنين اگر اين نوار را از يک سوم عرض نوار ببريم، دو نوارِ موبيوس در هم گره شده با طولهاي متفاوت به دست خواهيم آورد. تمامي اين کارها به آساني قابل اجراء هستند.

   

کاربرد خواص نوار موبـيوس در معماري

 

خاصيت موبيوسي: خاصيتي است که رابطة بين «درون» و «بيرون» را وارونه مي‌کند. يعني هر نقطه از يک سطح موبيوسي در عين حال که درون است، بيرون نيز مي‌باشد! بنابراين در يک تغيير پيوسته، نوعي دگرگوني در ماهيت يک فضا صورت مي‌گيرد. در واقع در اين حالت فضا خاصيت دو گانه اما پيوسته پيدا مي‌کند.

 

خاصيت موبيوس که گذر از درون به برون و از برون به درون را ممکن مي‌کند، کمابيش توانسته است بر فراز شکاف حاصل از دوگانگي (ثنويت) پلي بزند (شايگان،۱۳۸٠). بنابراين، فضاي ِميان «برون و درون»، «پيوستگي» و «تکرار» با يک تعريف رياضي به يک سطح هندسي تبديل مي‌شود. سطحي که بر آن در هر لحظه اي هم داخل و هم خارج فضا هستيم. اين ويژگي در طراحي معماري مورد توجه قرار گرفته است.

 

فرشيد موسوي در پروژه‌اي به نام خانة مجازي (Virtual House) از خاصيت نوار موبيوس براي طراحي استفاده مي‌کند. او با اين ساختار، سطح توپولوژيکي به وجود مي‌آورد که در آن هر اتاق با اتاق ديگر ترکيب مي‌شود تا نواري دو طرفه و دو منظوره را درست کند (شکلهاي ١ و ۲). در آن پروژه تـضاد بين داخل-خارج، جلو-عقب، پائين-بالا و ديگر مفاهيم در يک سکونتـگاه مورد پرسش قرار مي‌گيرد و ارتباطي خاص ميان اين مفاهيم به وجود مي‌آيد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ساختار هندسي نوار موبيوس، «درون و بيرون» با «داخل و خارج» را تلفيق مي‌کند و فضاي سومي با کيفيتي جديد به وجود مي‌آورد. اين فضاي سوم، فضايي است که «همزماني»، «تبديل» و «تکرار» در ميان پديده ها در آن رخ مي‌دهد.